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서스턴의 기하화 추측은 간단히 말해서 이 우주가 아무리 복잡한 위상(모양)이라도 근본은 서로 다른 8가지 형태의 조각을 이어붙인 것일 거라는 얘기입니다. 푸앵카레의 추측과 관련지어 얘기하자면 구, 원기둥, 정육면체처럼 오일러 지표가 2인 위상동형인 것 외에 도넛이나 찻잔처럼 오일러 지표가 2보다 큰 다른 조각들로 이 우주가 이뤄져 있다면 폐곡선이 수축해도 점으로 수렴할 수 없겠지요. 그럼 푸앵카레 추측이 틀렸다고 말할 수 있습니다. 뭐 아시다시피 푸앵카레 추측은 의외로 미분기하로 참이라는 게 증명 됐으니 기하화 추측으로 푸앵카레의 추측을 반증하는 건 실패했지만요.
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음 써놓고 보니 설명이 너무 빈약하네요. 궁금한 거 있으시면 아는 한도 안에서 최대한 답해드릴게요. ㅎㅎ

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보충합니다. 다시 읽어보니 마치 서스턴의 기하화 추측이 푸앵카레 추측 증명에 도움이 되지 않은 것처럼 써놨네요. 페렐만은 리치흐름 방정식으로 다친 다양체에서의 서스턴의 기하화 추측을 증명하여 푸앵카레의 추측이 참임을 증명했습니다.

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에르디시님 감사합니다^^

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오..드디어 댓글이 등록되는군요... 아까부터 안되서 짧게 먼저 감사의 인사를 드렸습니다.ㅡ.ㅜ
에르디시님께서 답변해주신 내용도 상당히 궁금하게 여기고 있었지만, 사실 제가 궁극적으로 알고 싶었던 것은 서스턴이 우주가 8가지 패턴으로 구성되어 있다는 추측을 내기 까지의 사고의 과정입니다. 검색을 통해 얼풋 살펴보면 나뭇잎같은 주변의 사물로부터 사고를 확장시켜 나갔다고 하는데 그에 관해 정확한 내용을 알고싶어 이렇게 질문을 올리게 되었습니다. 혹 그에관해 알고 계신게 있으신지 궁금합니다..

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우리는 세 가지 정보(가로, 세로, 높이 혹은 동서, 남북, 상하 혹은 x, y, z)를 알면 수학적으로 기술할 수 있는 공간에 살고 있습니다. 3차원이라 부르지요. 이 3차원은 2차원 공간을 연속으로 세 번째 축의 방향으로 확장(혹은 적분)한 공간입니다. 그래서 3차원의 표면은 2차원입니다. 그런데 이 2차원에 적용하는 기하학은 하나가 아닙니다. 구의 표면, 말 안장의 표면, 평평한 표면 세 가지 2차원이 존재하지요. 이 2차원들은 서로 비슷해 보이지만 많은 것이 다릅니다. 파이 값도 다르고 삼각형 내각의 합도 다르고 합동이나 닮음도 다르죠. 그럼 3차원을 네 번째 축으로 확장시킨 4차원의 표면인 3차원은 어떨까요?
서스턴은 학부생시절 여러가지 3차원을 생각했습니다. 그러던 중 '만화경을 이리저리 돌리면 서로 다른 모양처럼 보이지만 근본적으로 유한한 조각들의 집합인 것처럼 이 우주도 같은 게 아닐까'라는 착상을 얻었고 3차원 기하학은 8가지 종류만 있다는 것을 느꼈습니다. 아무리 복잡한 3차원도 이 8가지의 조합일 뿐이라 생각한 거죠.
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음... 일단은 이러합니다... ㅎㅎ 더 궁금하거나 보충 설명이 필요한 부분 있나요??

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아니요 ㅎㅎ 와... 친절하고 자세한 답변 감사합니다~~!!!!

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ㅎㅎ 이해하시는데 조금이나마 도움이 됐다면 다행입니다. 설마 정담에서 기하학화 추측을 물어보시는 분을 만나다니 ㅎㅎ

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신기하네요.. 우와아 @.@

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