공기저항을 무시하는 이유는 공기저항이라는 이놈이 속도와 물체의 형태 등등에 따라 지멋대로라 계산하기 귀찮아서 뺐다는건 안자랑.
아무튼 종단속도 이야기가 나온 글의 댓글에 나이트런에서 중력에 의해 자유낙하하면서 가속받아 아광속돌파해서 시간여행했다는 드립이 나온다는 댓글을 보고 필받아서 씁니다.
우주에서 물체의 위치에너지 U는 만유인력상수를 G라하고 행성/항성의 질량을 M, 물체의 질량을 m, 중심으로부터 물체까지의 위치벡터를 r이라고 했을때 U = -GMm/r 입니다.
만유인력이 F = -GMm/r^2 * e_r 인데(e_r은 r의 단위벡터) 이걸 무한대에서부터 r까지 적분을 하면 이렇게 되지요.
일단 계산의 편이성을 위해서 지구를 중심으로 계산해봅시다. 먼저 r점에서 낙하하여 지구 표면에 도달할때의 속도를 측정한다고 가정하고, 또한 공기저항을 무시합시다.
아광속 드립이 나왔으니 아인슈타인의 상대성이론이 빠질수 없죠. 광속과 비교했을때 충분히 빠른 물체의 운동에너지를 K라고 했을때 K = (mc^2)/((1-(v/c)^2)^0.5)-1) 입니다.
물론 v는 물체의 속도이고 m은 물체의 질량, c는 광속입니다.
이 K값이 r점의 위치에너지와 지구표면에서의 위치에너지의 차이와 같습니다.
따라서 K = U(표면) - U 인거죠.
r점에서의 위치에너지 U = -GMm/r이고 지구의 반지름을 R이라고 했을때의 지구표면에서의 위치에너지 U(표면) = -GMm/R입니다.
그러면
K = U - U(표면)
(mc^2)/((1-(v/c)^2)^0.5)-1) = GMm(1/R - 1/r)
이 되지요.
문제는 일단 v값과 r값이 서로 변수라 확정할수 없는데(질량은 서로 상쇄되어 없어집니다), 얼마전에 성층권에서 다이브한 레드불의경우를 생각해봅시다. 그때 39km 상공에서 했지요? 그러면 지구의 반지름이 6400km이니까 r = 6439km 가 되네요. 이걸가지고 계산해보면(복잡하니 공학용 계산기 ㄱㄱ) 속도가 겨우 868m/s에 불과합니다. 물론 이것도 거의 마하 2.5에 이르는 엄청난 속도이긴 합니다만 아음속에 도전하기에는 많이 부족해 보입니다.
그렇다면 태양에서는 어떨까요? v값을 0.1c로 잡고 계산해보면, 바로 음수가 떠버립니다. 중심에서부터의 거리가 음수가 나오는건데, 이건 불가능하죠. 따라서 태양정도의 행성에서도 아예 불가능한 거라는걸 알수있습니다.(물론 시간여행은 0.1c정도로는 택도없지요)
아무튼 갑자기 필받아서(;;;) 해버린 뻘짓이네요 ㅎㅎ
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