대표적으로 몸의 길이가 9cm인 동물들의 예를 들자면, 곤충류가 있다.
곤충류 중에서도 가장 작은 편에 속하는 ‘벼룩’은 자기 몸 크기의 200배나 되는 높이를 뛰어오를 수 있으며, (작은) 개구리 역시 자기 몸의 수십 배나 되는 높이를 무리 없이 뛰어오를 수 있다.
그들의 몸을 정육면체라고 생각해보자. 한 변의 길이가 @라고 하면, 그들의 몸의 부피는 다음과 같다. 또한 이는 몸무게와 비례하니, 다음과 같은 식이 탄생한다.
<비례 기호를 찾을 수 없어 OC로 대체함.>
몸무게 oc @^3
그리고 힘은 근육을 포함한 각종 근골의 (세포의)표면적에 비례한다. 즉, 다음의 식이 나타난다.
힘 oc @^2
예를 들어보자. 이 예는 끝까지 가며, 귀찮은 사람들은 팍팍 내려서 마지막 부분만 보아도.... 좋을까? 좋겠다. 필자가 봐도 너무 어렵다. 쓸 때 어떻게 썼는지, 지금 봐도 모르겠으니 그냥 넘어가도록 하자.
#이 일곱 개 나오는, 대략 아래에서 두세 페이지 위에서부터 읽으면 될 것이다.
if @=10cm인 잉여가 있다고 해보자.
몸의 무게는 1,000(에 비례하나, 편의상 1이라고 한다/단위 역시 부피의 것으로 대체한다)cm^3이고, 힘의 크기는 100cm^2이 된다. 즉, 1의 힘으로 10의 무게를 지탱하면 된다.
if @=100cm인 잉어가 있다고 해보자.
몸의 무게는 1,000,000cm^3이고, 힘의 크기는 10,000cm^2이 된다. 즉, 1의 힘으로 100의 무게를 지탱해야만 한다.
그러므로 10cm의 작은 잉여가 100cm를 날아오를 때 사용하는 힘의 비율은 100cm의 큰 잉어가 1,000cm를 날아오를 때 사용하는 힘의 비율보다 작을 수밖에 없다. 그 증명은 아래와 같다.
<1,000의 무게를 띄우는 데 사용되는 힘의 크기를 M이라 하면, >
작은 잉여는 총 100의 힘을 가지고 있으며, 1,000의 몸을 100cm 띄우기 위해선 M*100cm의 힘이 필요하다.
큰 잉어는 총 10,000의 힘을 가지고 있으며, 1,000,000의 몸을 1,000cm 띄우기 위해선 1,000*M*1,000cm의 힘이 필요하다.
이를 비율로 따지면 각각 M:10,000*M, 총 힘의 비율로 다시 따지면 1:100. 그러므로 다시 말해 작은 잉여가 0.1%의 힘을 쓸 때, 큰 잉어는 10%의 힘을 사용해야만 같은 비율의 힘을 낼 수 있다는 것이다.
그렇다면 같은 높이를 뛸 때는 어떠할까.
우선 아래에 표를 써보도록 하겠다. 디스플레이에 따라 표가 망가져 보일 수 있다.
<사실 표라 부르기도 뭣하다. 그냥 일렬도 써둔 것뿐이니.>
종류 : 작은 잉여 / 큰 잉어
변의 길이: 10cm / 100cm
무게: 1,000 / 1,000,000
총 힘: 100 / 10,000
힘의 비율: 1 / 100 --- <작은 잉여가 1의 힘을 쓸 때, 큰 잉어는 100의 힘을 쓴다. 작은 잉여가 훨씬 더 낫다.>
작은 잉여는 1,000의 무게가 나가는 몸을 100,000cm 띄우고자 한다.
큰 잉어는 1,000,000의 무게가 나가는 몸을 100,000cm 띄우고자 한다.
역시, 1,000의 무게를 띄우는 데 사용되는 힘의 크기를 M이라 하면,
작은 잉여는 100,000*M의 힘이 사용된다.
큰 잉어는 1,000*M*100,000의 힘이 사용된다.
즉, 같은 높이를 뛰더라도 큰 잉어는 지극히 많은 힘이 필요하다.
작은 잉어가 0.1%의 힘을 쓰면, 큰 잉어는 1%의 힘을 써야 한다. <총 힘의 용량을 기준으로>
같은 무게의 물건을 일정 시간 동안 들어보자.
각각 1의 무게의 물건을 최대한 든다고 하면,
작은 잉여는 100의 시간 동안, 큰 잉어는 10,000의 시간 동안 들 수 있다. 이는 힘의 총량으로부터 비롯된 것이다.
100의 무게의 물건을 들어보자.
작은 잉여는 겨우 1의 시간 동안, 하지만 큰 잉어는 100의 시간 동안 들 수 있다. 즉, 큰 잉어는 100배 더 나가는 무게의 물건을 같은 시간 동안 들고 있을 수 있다.
신체의 내구도는 어떠할까.
내구도란, 단순히 말하면 얼마나 밀집되어 있느냐이다. 잘 뭉쳐진 사암은 단단하지만, 흐물흐물한 모래는 매우 약한 힘에도 탁탁 깨져나간다. 같은 부피라면 내구도 더 높을 수록 무게도 더 무거워진다는 말이다.
즉, 내구도 oc 무게
위에서 작은 잉여의 무게는 1,000, 큰 잉어의 무게는 1,000,000이었다. 즉, 큰 잉어의 내구도는 작은 잉여의 것에 비해 약 1,000배 가량 더 높다. 1,000배나 더 단단한 것이다.
즉, 큰 잉어는 1,000배 더 강한 힘을 최대로 버틸 수 있다.
이번에는 잠깐 자유낙하에 대해 말을 해보자.
단, 공기 저항은 무시한, 순수 이론 과학에서 접근하도록 하자. 머리가 아프다.
아까 작은 잉여는 10cm이었고, 큰 잉어는 100cm이었으니, 1:10의 비율의 높이에서 떨으뜨려보도록 하자. 여기서는 각각 100cm, 1,000cm에서 떨어뜨릴 작정이다.
그들이 각각 받게 될 충격량을 구하는 식은 이미 다른 과학자에 의해 나와있다.
p(충격량)=m(질량)v(속도)^2
충격량은 질량에 비례하고, 속도의 제곱에도 비례한다. 질량이 크고 속도가(정확히는 백터가 제외된 속력이라 불러야 하지만, 편의상 속도라 부르자) 빠를 수록 더 아프다는 것이다.
질량은 이미 나와있다.
작은 잉여는 1,000, 큰 잉어는 1,000,000.
속도를 구해보자.
속도는 자유낙하에서 이루어지는 식이 있다.
gh = 0.5*v^2
작은 잉여부터 가보자.
g*100=0.5*v^2
루트(200*g)가 작은 잉여의 속도인 셈이다.
큰 잉어는 어떠할까.
g*1,000=0.5*v^2
루트(2,000*g)가 큰 잉어의 속도이다.
그러니 속도는 큰 잉어가 작은 잉여에 비해 루트10배 더 빠르다. 이제부터 편의상 작은 잉여의 속도를 V, 큰 잉어의 속도를 룻10V라고 하겠다.
그러면 충격량을 구할 수 있다.
작은 잉여의 경우, 1,000*V이고
큰 잉어의 경우, 1,000,000*V*룻10이다.
큰 잉어는 결과적으로 1,000*룻10배 더 세게 아프다. 그런데, 위에서는 1,000배 더 강한 내구도를 갖추고 있다.
작은 잉여가 1 아플 정도에서 떨어졌고, 실제로 1만큼 아팠다고 하자.
그 만한 비율로 큰 잉어가 떨어지면, 큰 잉어는 1,000*룻10만큼이나 아프다. 하지만 버틸 수 있는 것은 1,000만큼이 한계이다. 즉, 나머지 1,000*(룻10-1)만큼의 충격은 몸으로 때워버리는 수밖에는 없다.
반대로 보자.
큰 잉어가 1,000만큼 아플 정도의 높이에서 떨어졌고, 실제로 1,000만큼 아팠다.
작은 잉여는 룻10분의 1, 즉 10분의 룻10만큼만 아프다.
작은 잉여는 1의 충격까지 버틸 수 있는데, 겨우 10분의 룻10만큼만 아프다. 나머지 0.1(10-룻10)의 충격은 추가로 더 버틸 수 있다는 말이다.
그러므로 몸의 길이에 비례하여 같은 비의 높이에서 떨어질 경우, 작은 잉여는 덜 아프고 큰 잉어는 많이 아프다.
이제 공공공의 개념으로 들어가보자.
공기저항이다.
공기저항은 쉽게 말하면, 공기와의 마찰, 그리고 공기로부터 얻어 터지는 충격량의 정도라고 볼 수 있다.
낙하산의 경우, 공기와 최대한 넓은 면적에서 부딪히려 하고, 공기로부터 더 많이 얻어 터지기 위한 모양을 띄고, 결국에는 매우 천천히 떨어지게 된다. 다만 일반적인 물체, 특히 정육면체인 잉여와 잉어에게는 적용되지 않는다.
공기저항 F의 식은 다음과 같다.
F = PIE*r^2*d*v^2
여기서 알파벳을 설명할 필요가 있겠다.
F = 공기 저항(답)
PIE*r^2 = (원의) 면적
d = 공기의 밀도 (얼마나 공기가 뭉쳐져 있느냐)
v^2 = 속도의 제곱
다만 여기서는 공기의 밀도를 제하고 계산하도록 하자. 어차피 단순 비율 비교만 하는 것인 만큼, 큰 필요가 없다.
원의 면적은 무슨 말이느냐. 1번과 2번의 물체가 있다고 해보자.
날씬한 1번
000
000000
0000000
000000
000
통통한 2번
00000000000
00000000000000
00000000000
0000000
저 모양 그대로 아래로 떨어진다고 해보자.
1번에서 원의 면적은
000 - 에 해당하는 부분과
0000000 - 에 해당하는 부분의 평균치이다.
2번에서 원의 면적은
00000000000 - 에 해당하는 부분과
00000000000000 - 에 해당하는 부분의 평균치이다.
당연히 1번의 면적은 좁고, 2번의 면적은 넓을 수밖에 없다. 이런 점에서 원의 면적을 구한다. 원통형이 아닌 사각기둥인 정육면체라면 계산하기가 약간 까다로워지지만, 역시 비율의 문제이니 각각의 생명체의 체면적(100, 10,000)을 면적으로 두도록 하자.
F = PIE*r^2*d*v^2 에서 d, 공기의 밀도를 제거하면
F = PIE*r^2*v^2 라는 식이 나온다.
작은 잉여부터 구해보자.
F = 100*V
큰 잉어는 다음과 같다.
F = 10,000*룻10V
아까 구했던 충격량은 각각 작은 잉여: (1,000*V), 큰 잉어: (1,000,000*V*룻10)였다. 물론 부딧힌 땅의 밀도, 재질, 습도 등에 따라 달라질 수도 있지만, 무시하자.
이 충격량에서 방금 구한 위의 공기저항을 빼면, 실제로 잉여와 잉어가 받는 아픔의 정도를 알 수 있다. 계산을 해보자면....
작은 잉여: 900*V
큰 잉어: 990,000*V*룻10
다시 계산을 해보면, 큰 잉어는 일반적으로 작은 잉여에 비해 1,100*룻10배만큼 더 아프다. 공기 저항이 없는 진공에서 떨어졌던 때에는 1,000*룻10배만큼 아팠는데, 그 때보다도 약 1.1배 더 아프게 되었다.
즉, 작은 잉여는 조금 더 활발하게 움직일 수 있다.
유체역학을 따져보자.
지금 당장 의자에서 일어나 팍 무릎을 굽혔다가 일어나보자. 공기가 느껴지지 않는가? 이건 공기 저항이다. 공기가 있음으로 움직이기에 약간이나마 불편해진 것이기 때문이다.
책으로 솔솔 바람을 부쳐보자. 공기가 움직였다. 즉, 공기는 기체이므로, 기체와 액체를 동시에 뜻하는 유체의 움직임이라고 볼 수 있다. 그리고 이에 대해 다루는 학문이 바로 유체역학이다.
위에서 작은 잉여와 큰 잉어는 위에서 아래로 떨어졌다. 그 때, 공기는 멈춰있을까? 설사 멈춰있었다고 해도, 위에서 밀고 내려오는 두 놈의 정육면체들 때문에라도 함께 아래로 밀려버릴 것이다. 이 때 잉여와 잉어는 공기의 저항을 느끼고, 유체가 이동한다.
<ㅁ = 공기, 유체>
떨어지는 잉여
ㅁㅁㅁㅁㅁㅁㅁ
| | |
| | |
↡ ↡ ↡
하지만 이렇게 단순한 움직임만 보이지는 않는다. DNA의 이중 나선 구조, 혹은 욕조의 쪼르륵 빨려 들어가는 물의 움직임과도 비슷하다. 사이다 병에 언젠가 동전을 넣는다면, 볼 수도 있을 것이다. 마치 휘감고 올라가는 듯한 유체의 움직일을 말이다.
그 휘감음은 잉여를 다시 건드린다.
잉여
ㅁㅁㅁㅁ***
↗ ↡ ↡ ↗
ㄴ ← ↙ ↘ →
위의 ***부분을, 오른쪽 위를 향하는 유체의 흐름이 건드린다는 것이다. PC에서도 잘 보일지 모르겠지만, 일단 그려보았다.
사실 유체역학을 계산할 때 구해야 할 것들이 한두 개가 아니다. 사실 위의 공기저항에서도 은근슬쩍 빼먹은 공기의 밀도도 정확하게 구해야 했다. 산 정상은 산 아래에 비해 공기가 희박하듯, 단 몇 cm의 고도 차이로도 그만한 밀도의 차이가 있을 수 있기 때문이다.
그리고 유체역학은 더하다. 특히 물체가 떨어지면서 유체가 움직이고, 이로 인해 유체 정역학에서 벗어나 유체 동역학에서 접근을 해야 하는데, 정말 귀찮고 복잡한 과정이다. 그래도 지금까지 해왔던 것들을 보고, 애써 해보도록 한다.
...지만 다 까먹었다. 그래도 위에서 해왔던 것만 해도 충분할 것이다. 여기서 정리로 들어가겠다.
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등장인물
1. 작은 잉여
2. 큰 잉어
편의상 표면적을 600이 아닌 100이라 썼다거나, 하는 생략이 많이 있음. 하지만 비율 상 오류는 없음. 다만 무지로 인한 오류의 가능성은 높음.
작은 잉여는 10cm, 큰 잉어는 100cm이다.
작은 잉여가 1g을 들 때, 같은 시간 동안 큰 잉어는 100g을 들 수 있다.
작은 잉여가 1초를 들 때, 같은 물건을 든 큰 잉어는 100초를 들 수 있다.
내구도는 1:1,000의 배율이다.
작은 잉여가 1g을 부서지지 않고 버틸 때, 큰 잉어는 1,000g을 부서짖지 않고 버틸 수 있다.
변의 길이에 비례하여 같은 비율의 높이에서 떨어지면, 작은 잉여가 1의 충격량을 받을 때, 큰 잉어는 1,000*룻10의 충격량을 받는다.
공기의 저항을 고려하면, 작은 잉여가 1의 충격량을 받을 때, 큰 잉어는 1,100*룻10의 충격량을 받는다.
유체역할을 고려하면 큰 잉어가 받은 충격은 더욱 커질 것이다.
작은 잉여는 총 100만큼의 힘을 낼 수 있고, 큰 잉어는 총 10,000만큼의 힘을 낼 수 있다. 100배 차이다.
작은 잉여가 10cm를 뛰는 데 0.1%의 힘을 사용한다면, 큰 잉어가 100cm를 뛰기 위해선 10%의 힘을 사용해야 한다.
작은 잉여가 100cm를 뛰는 데 0.1%의 힘을 사용한다면, 큰 잉어는 100cm를 똑같이 뛰기 위해 1%의 힘이 필요하다. <역시 총 힘의 용량을 기준으로 한다.>
만일 어느 곳에 키가 9cm인 인간들이 사는 소인국이 있다면, 이들은 아마 서커스나 묘기 면에 있어서 한층 자유로울 것이며, 힘도 넘쳐날 것이다. 이들을 우리의 관점에서 보자면 아래와 같을 것이다.
1m의 높이에서 가볍게 조금의 겁도 없이 뛰어내릴 수 있으며
10m의 높이에서 떨어져도 죽지 않는 사람들이 상당히 많을 것이며
위험 수당은 적거나, 기준이 심화될 것이며
비교적 호리호리해도 무거운 물건들을 쉽게 옮길 수 있을 것이며
뜀박질도 1m정도는 무리 없이 가능할 것이다.
일반 나무만 해도 쉽게 부러지지 않을 것이며
물질들의 결정 구조를 육안으로 확인할 수도 있을 것이다.
하지만 피부가 약해 쉽게 찢어질 것이며
뼈 역시 골밀도가 낮아 쉽게 부러질 것이다.
습도차외 일교차가 매우 클 것이며, 하루에도 수십 번씩 지진이 일어날 것이다.
결론은 그냥 개미를 떠올려라.... 입니다.
재능 낭비 겸 쓸데없이 고퀄이기는 하지만, 자료 백업 겸 해서 올려두어야겠습니다. 나중에 쓸모가 있겠죠..?
느아아
찬성: 
반대: 
가디록™
윈드윙
달닮은마을
한자락
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